Velocidades, desplazamientos, y sorpresas orbitales

Esta entrada pretende aclarar algunos conceptos surgidos en el debate sobre la entrada anterior, “Erupciones desorbitantes”. Por ello, recomiendo leer antes tanto dicha entrada como sus comentarios.

El debate surge porque un lector comenta, casi de pasada, que en otro blog se trata un tema casi idéntico, y, tras leerlo, yo comento que hay un pequeño error de concepto en ese otro artículo (sin pretender criticar a su autor; quizás no sea más que una desafortunada forma de expresarlo). La cuestión es que dicho autor dice que una determinada perturbación en una órbita (el origen es lo de menos) produce “un desplazamiento de x al año”; literalmente, “La Tierra se dirige hacia el Sol a una velocidad de vértigo de…¡6 centímetros al año!” Y lo que quiero aclarar es que no, que no existe tal desplazamiento. Que si la explosión, o lo que sea, da como resultado la aparición de un vector velocidad dirigido hacia el Sol de valor 6 cm/año, esto no tiene nada que ver con que la Tierra realmente se desplace hacia el Sol 6 cm por año. Intentaré aclararlo.

A partir de ahora, a la explosión, erupción, o lo que sea, lo llamaremos perturbación. Y al cuerpo que la sufre (Io, la Tierra, planeta, satélite, sonda espacial, asteroide o lo que sea), lo llamaremos objeto.

Como bien señala uno de los lectores que comenta que estamos diciendo lo mismo (y yo insisto en que no), la velocidad final del objeto será la suma de la que llevaba más la inducida por la perturbación. Dicha suma será vectorial, y, por tanto, supondrá una velocidad final diferente en módulo y dirección de la velocidad inicial (muy poco diferente porque ya hemos visto en el artículo anterior que la perturbación es pequeña, pero olvidémonos de eso por ahora). El resultado también dependerá, lógicamente, de la dirección en la que actúe la velocidad de perturbación. Dicha dirección puede ser cualquiera, pero lo simplificaremos a tres casos extremos: en la misma dirección del movimiento (a favor o en contra del mismo), en perpendicular a la dirección de desplazamiento y al plano de la órbita, y en perpendicular a la dirección de desplazamiento pero en el plano de la órbita.

Todo esto se ve mucho mejor con dibujos, claro, y, a riesgo de ser pesado, os recomiendo el artículo que he comentado que publicaré en el número de junio de Espacio. Si os interesa este tema, allí está muy bien explicado (creo), incluyendo ejemplos muy curiosos de “boomerangs espaciales”: debido a cómo funcionan estas cosas, te puedes encontrar con que lanzas un objeto desde una estación espacial y al rato lo tienes de nuevo de vuelta como por arte de magia. En serio, si os interesa el tema, creo que merece la pena. (No llevo ninguna comisión en esto, los de la revista me pagan lo mismo independientemente de los ejemplares que vendan, no creáis que tengo interés especial en que compréis ese número, pero tiene mucha relación con lo que estamos hablando aquí). De todas formas, incluyo aquí algunos de los croquis que utilicé para ilustrar dicho artículo (que aunque trata sobre un tema algo distinto, utiliza los mismos principios y argumentos) para aclarar un poco lo que estamos hablando. En las imágenes, la órbita inicial es amarilla, la final azul, y el vector rojo representa la dirección de la perturbación.

Bueno, vuelvo al tema. ¿En qué se traduce la actuación de la perturbación en cada una de las tres direcciones comentadas? (Por simplicidad, supondremos en lo sucesivo que partimos de una órbita inicial circular; también supondremos que la perturbación se da en un periodo más o menos corto, considerándola más o menos instantánea). Veamos:

1. Perturbación de dirección coincidente con la dirección de desplazamiento. Esto supone un cambio en el módulo de la velocidad final del objeto, sin cambio de dirección. Será un aumento o disminución de su velocidad, sin más. Ello se traduce en una modificación de la forma de la órbita, un cambio en su excentricidad. Como partíamos de una órbita circular (hipótesis simplificatoria), tendremos dos casos:

1.a. Si la velocidad aumenta, tendremos una órbita elíptica con su pericentro coincidente con el punto de actuación de la perturbación, y su apocentro más elevado, en el punto diametralmente opuesto.
1.b. Si la velocidad disminuye, tendremos una órbita elíptica con su apocentro coincidente con el punto de actuación de la perturbación, y su pericentro más bajo, en el punto diametralmente opuesto.

2.Perturbación de dirección perpendicular a la dirección de desplazamiento y al plano de la órbita. Esto supone un pequeño cambio en el módulo de la velocidad final del objeto y, lo que es más importante, una desviación de su dirección. El cambio de velocidad provocará lo comentado en el punto 1 (de mucha menor magnitud, porque al sumarse dos vectores perpendiculares, el efecto en el módulo es mucho menos efectivo, creo que se ve claro), y, principalmente, una inclinación del plano orbital. Es decir, el plano de la órbita se inclinará ligeramente.

3. Perturbación de dirección perpendicular a la dirección de desplazamiento pero contenida en el plano de la órbita. En este caso no tenemos variación en el plano orbital, y sí tenemos una pequeña variación en el módulo de la velocidad. El efecto es similar al del punto 1, aunque con dos diferencias:

3.a. Al no sumarse la velocidad directamente (misma dirección), el efecto final en la variación de velocidad es menor (efecto deformante de la órbita menor)

3.b. Al variar la dirección final de la velocidad, el punto donde actúa la perturbación no se convierte en el pericentro o apocentro de la órbita final, sino en un punto intermedio de dicha órbita.

Por lo demás, podemos considerar este caso como un caso particular del punto 1, sin mayor interés para este estudio.

Bien, ahora que ya hemos visto las posibilidades (olvidándonos de que existen otras infinitas posibilidades intermedias entre estas tres, y con efectos que son, por tanto, una mezcla de todos ellos), pongámosle números. Utilizaremos nuestro ejemplo inicial (artículo anterior), del satélite joviano Io, sobre el que aplicamos una descomunal perturbación de 1 cm/s (descomunal porque fue el valor que obtuvimos para la hipótesis de expulsar una masa de miles de montañas a una velocidad de 11 km/s, velocidad de escape terrestre y más de 4 veces superior a la de escape de Io, como se molestó en calcular Salva85, que yo fui más vago).

Pues bien, si suponemos que la perturbación actúa como en el caso 1.a, es decir, en la misma dirección y sentido de desplazamiento de Io en su órbita, tendremos que su velocidad ha pasado de 17,34785 km/s a 17,34786 km/s (no os toméis estos números al pie de la letra; la simplificación de suponer órbita circular, y los errores de redondeo en las magnitudes usadas, como masa de Júpiter y demás, hacen que no sean exactos, pero como lo que nos interesa es ver diferencias, y no valores absolutos, nos sirve de sobra). En este caso, haciendo un calculillo vemos que el radio del apogeo de la nueva órbita se convierte en 422000,97 km, frente al radio de la órbita inicial, que era de 422000 km. Es decir, con ese empujón de 1 cm/s (36 metros/hora), hemos obtenido una órbita elíptica que se separa de la circular un máximo de 973 metros, en el punto opuesto al empujón. En el punto del empujón, ambas órbitas serán tangentes.

Es curioso, ¿no? Aunque 973 m frente a 422000 km es una miseria, la verdad es que no está mal. Y lo más curioso es que la órbita se recorre en algo menos de 2 días (42,45 horas), lo cual quiere decir que al cabo de un día (21,23 horas, exactamente), el efecto del empujón es una variación de 973 metros. En cambio, si usamos la teoría lineal, la velocidad de 36 metros/hora hubiera supuesto una variación de 764 metros. ¡Menos que la realidad! Pero con una importante diferencia: siguiendo este criterio, al cabo de 42 horas el objeto se habría desplazado 1500 metros de su posición teórica, cuando en realidad en ese momento está exactamente en el punto de partida (desplazamiento cero; punto de tangencia de ambas órbitas). Al cabo de varios años, con el desplazamiento lineal, Io estaría a una distancia de x km, pero en la realidad, seguirá moviéndose en una órbita que sólo distará 973 metros de la inicial en su punto más separado, y tangente en el punto inicial. Es muy distinto.

Además, por seguir anotando “curiosidades”, la mayor distancia no se da en el punto de la órbita situado en la dirección en la que apunta la perturbación, sino en el situado a 90º. Por así decirlo, el empujón hacia delante se convierte en una máxima desviación situada hacia el lateral.

Para el caso 1.b no entraré en detalles, pero es el simétrico: en lugar de conseguir una órbita elíptica cuyo pericentro es el punto de perturbación, con un apocentro más alejado de Júpiter, tendremos una órbita elíptica cuyo apocentro será el punto de perturbación, y su pericentro estará más cercano a Júpiter. Por lo demás, todo igual.

Pasamos al caso 2: perturbación perpendicular a la dirección de desplazamiento, y al plano de la órbita. En este caso, tras la suma vectorial de ambas velocidades (la de Io, de 17,34784907 km/s, y la de perturbación, de 1 cm/s) tendremos una velocidad resultante de módulo “idéntico” (para mi calculadora cae dentro del error de redondeo, diferencia nula) y situada en un plano desviado un ángulo de 0,000033º con respecto al plano inicial.

La desviación en ángulo es despreciable, pero veamos cuánto supone de separación máxima con respecto a la órbita inicial en el caso extremo (punto de la órbita situado a 90º): pues 243 metros de desviación. Esta desviación máxima se dará al cabo de 10,61 horas; un cuarto de órbita más tarde (21,23 horas desde la perturbación), volveremos a cruzar la órbita inicial (desviación nula en ese punto), y seguirá de esta forma indefinidamente (en ausencia de nuevas perturbaciones). Por mucho tiempo que pase, tendremos una separación de Io con respecto a la posición que tendría en su órbita original que oscilará entre 0 y 243 metros. Si habláramos de un desplazamiento de 1 cm/s (y no de una perturbación de valor 1 cm/s) estaríamos diciendo que al cabo de 21,23 horas estaría a 764 metros, al cabo de 42,45 horas a 1,5 km, y así sucesivamente. Como veis, no tiene nada que ver.

¿Qué pasa en el caso 3? Pues que empiezo a estar cansado de cálculos, sinceramente :-) Pero de forma cualitativa lo podéis ver en el gráfico: es un caso similar al 1, sólo que ahora el punto de la perturbación no se convierte en un punto de tangencia entre la órbita inicial y final, sino en un punto de cruce entre ambas. Pero la desviación máxima conseguida es menor que en el caso 1.a (que salió de 973 metros). Si alguien lo pide encarecidamente, realizaré los cálculos exactos, pero ya otro día, que por hoy ya le he dedicado bastante a esto :-) De todas formas, creo que con los casos explicados ha sido suficiente para exponer la diferencia de terminología que motivó esta entrada. Y es que, en mecánica orbital, las cosas no funcionan como en los movimientos lineales, a los que estamos más acostumbrados; en el espacio, las leyes de la física actúan de forma curiosa, como cuando los astronautas de la Gemini IV intentaban dar alcance a una etapa gastada de su cohete lanzador y, cuanto más aceleraban en su dirección, más se alejaban; o como cuando lanzas basura desde tu estación espacial, y al rato la tienes de vuelta pegándote una colleja, convertida en boomerang como por arte de magia (lo que explico en el citado artículo de junio de Espacio). En el espacio, las cosas no se mueven como estamos acostumbrados.

En relación con lo expuesto aquí, fijaos que siempre que leáis sobre cualquier misión espacial, veréis que todo lo relacionado con lanzamientos o maniobras se mide en términos de “incremento de velocidad”, o “delta v”. Se trata siempre de incrementos vectoriales, que pueden ser incrementos, decrementos, o cambios de dirección. Pero todos ellos requieren proporcionar un empuje por parte de los motores que aporte un vector velocidad de ese valor en la dirección que se requiera, para conseguir un vector velocidad final acorde con las necesidades de la misión (es decir, con la nueva órbita a recorrer). Y que no se traducen directamente en desplazamientos de la forma en la que estamos acostumbrados a pensar, sino en cambios de órbita de diferentes tipos.

Imagino que todo esto, escrito aquí sin más ayuda que unos tristes gráficos, habrá quedado quizás un poco abstracto… Espero, no obstante, haber podido aclarar algo cómo funciona este apasionante campo de la mecánica espacial. Personalmente, es algo que me encanta. ¡Hasta otra!

(Imágenes: Javier Casado)